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不定積分(4)

学籍番号
氏　　名
不定積分を行い、解を選択肢から選びなさい．
(A) \(\LARGE \int \normalsize \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}} dx\) ()
(B) \(\LARGE \int \normalsize \frac{x - \cos^{2}{\left(x \right)}}{x \cos^{2}{\left(x \right)}} dx\) ()
(C) \(\LARGE \int \normalsize \frac{1}{a^{x} + 1} dx\) ()
(D) \(\LARGE \int \normalsize \frac{a^{3 x} + 1}{a^{x} + 1} dx\) ()
(E) \(\LARGE \int \normalsize \frac{x}{\sqrt{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}} dx\) ()
(F) \(\LARGE \int \normalsize x \cos{\left(2 x \right)} dx\) ()
(G) \(\LARGE \int \normalsize \log{\left(x + 1 \right)} dx\) ()

関数に対数が含まれる場合，変数は対数の定義範囲とする．
\( \tan^{-1}x \rightarrow \operatorname{atan}(x) \) と表示しています．


選択肢

関数（\( C \) は積分定数）
(1)\(- \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right) \sqrt{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}} + \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}} + C\) (2)\(\frac{3 a^{3 x} \log{\left(a \right)}}{a^{x} + 1} - \frac{a^{x} \left(a^{3 x} + 1\right) \log{\left(a \right)}}{\left(a^{x} + 1\right)^{2}} + C\)
(3)\(\frac{a^{2x}}{2 \log(a)}-\frac{a^{x}}{\log(a)}+x + C\) (4)\(- \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} + C\)
(5)\(\tan(x) - \log(x) + C\) (6)\(x - \frac{\log{\left(a^{x} + 1 \right)}}{\log{\left(a \right)}} + C\)
(7)\(\frac{x \tan^{2}{\left(x \right)} + x - 1}{x} + C\) (8)\(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4} + C\)
(9)\(x \log{\left(x + 1 \right)} - x + \log{\left(x + 1 \right)} + C\) (10)\(\frac{\left(x - 1\right) \sqrt{2 x + 1}}{3} + C\)