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不定積分(6)

学籍番号
氏　　名
不定積分を行い、解を選択肢から選びなさい．
(A) \(\LARGE \int \normalsize \frac{3 x + 2}{x \left(x + 1\right)^{2}} dx\) ()
(B) \(\LARGE \int \normalsize \frac{1}{- \sqrt{x} + \sqrt{x + 2}} dx\) ()
(C) \(\LARGE \int \normalsize \frac{e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} dx\) ()
(D) \(\LARGE \int \normalsize x^{2} e^{x} dx\) ()
(E) \(\LARGE \int \normalsize x^{3} \sin{\left(x \right)} dx\) ()
(F) \(\LARGE \int \normalsize \frac{2 \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} dx\) ()
(G) \(\LARGE \int \normalsize \frac{\tan{\left(x \right)} + 1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} dx\) ()

関数に対数が含まれる場合，変数は対数の定義範囲とする．
\( \tan^{-1}x \rightarrow \operatorname{atan}(x) \) と表示しています．
\( \frac{1}{\cos^2(x)} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\cos^2(x)} = \tan^2(x) + 1\)


選択肢

関数（\( C \) は積分定数）
(1)\(\frac{2 \left(x + 1\right) \left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}\right) - 1}{x + 1} + C\) (2)\(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + C\)
(3)\(- x^{3} \cos{\left(x \right)} + 3 x^{2} \sin{\left(x \right)} + 6 x \cos{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)} + C\) (4)\(\left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x} + C\)
(5)\(\frac{x^{\frac{3}{2}} + x \sqrt{x + 2} + 2 \sqrt{x + 2}}{3} + C\) (6)\(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}} + C\)
(7)\(\frac{3 x^{2} + 1}{x \left(x^{2} + 1\right)} + C\) (8)\(\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} + C\)
(9)\(\frac{e^{x} \log{\left(e^{x} + 1 \right)} + \log{\left(e^{x} + 1 \right)} + 1}{e^{x} + 1} + C\)