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圧縮性とマッハ数

学籍番号　
氏　　名　
流体の圧縮性について以下の問いに答えなさい．
なお，(A)～(J)は選択肢の番号を，(K)(L)(M)は数値を解答する．
(A) 物質の圧縮率\( \beta \)は\(p\),\(\rho\)を用いどう表せるか？ \(\beta = \) () \(1/Pa\)
(B) 音速（体積弾性率 \( 1/\beta \) の物質中を縦波が伝播する速度）はどう表せるか？ \(a = \) () \(m/s\)
(C) 流れ場全体の平均密度を\( \rho_a\)，最大圧力差を\( \Delta p \sim (1/2)\rho_a q^2\)，\(q\) を主流の速さとすると，\( \rho_a\)に対する密変化はどう表せるか？ \(\displaystyle \frac{\Delta \rho }{\rho_a} \sim \) () \(\)
(D) 絶対温度 T K，ガス定数 R J/(kg K) であれば，状態方程式はどう表せるか？ \(\displaystyle \frac{p}{\rho } = \) () \(J/kg\)
(E) 完全気体の等温変化において一定に保たれる\(p\)と \(\rho \)の関係は？ \(一定 =\) () \(\)
(F) 完全気体の比熱比を \( \kappa \)とすれば，完全気体の等エントロピー変化において一定に保たれる\( p\)と \(\rho \)の関係は？ \(一定 =\) () \(\)
(G) (E)の音速はどう表せるか？　ヒント：(E)の式を\( \rho \)で微分し，(B)に代入する． \(\) () \(m/s\)
(H) (F)の音速はどう表せるか？　ヒント：(F)の式を\( \rho \)で微分し，(B)に代入する． \(\) () \(m/s\)
(I) マッハ数 M はどう表せるか？ \(\) () \(\)
(J) \( M^2 \)を力の比で表すと？ \(\) () \(\)
(K) \( \displaystyle \frac{\Delta \rho }{\rho_a} \)が 5 % であれば，マッハ数はいくらか？（有効数値３桁で解答）
(L) 常温空気の音速は a = 340 m/s であるので，M = 0.3 に相当する主流の速さはいくらか？（有効数値３桁で解答） km/hr
(M) 圧縮過程を等エントロピー変化と仮定し，
ガス定数 R = 287.03 J/(kg K) ，比熱比 \( \kappa = 1.4\) の空気の温度が -25 ℃ の場合には音速はいくらか？（有効数値３桁で解答）
なお，絶対零度は -273.15 ℃とする．		 m/s
参　　考
圧縮率：\( \displaystyle \beta = \frac{\Delta \rho / \rho_a}{\Delta p}\)
\(\displaystyle a = \sqrt{\frac{dp}{d\rho}} \)

選択肢

(単位は kg, m, s, K)
(1)\(\displaystyle \frac{p}{\rho ^ \kappa}\) (2)\((慣性力)/(粘性力)\) (3)\(\displaystyle \frac{1}{2} \left(\frac{q}{a} \right)^2\)
(4)\((慣性力)/(弾性力)\) (5)\((粘性力)/(慣性力)\) (6)\(\sqrt{\kappa R T}\)
(7)\(\sqrt{R T}\) (8)\(\displaystyle \rho \frac{d p }{d \rho} \) (9)\(\displaystyle \frac{1}{\rho} \frac{d \rho }{d p} \)
(10)\(\displaystyle \frac{p}{\rho}\) (11)\(\displaystyle \frac{q}{a}\) (12)\((弾性力)/(慣性力)\)
(13)\(R T\) (14)\(\displaystyle \sqrt{\frac{1}{\rho \beta }}\) (15)\(\displaystyle \sqrt{\frac{\beta}{\rho }}\)